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\title{微积分学习指导}  % 文章标题
\author{洛白}   % 作者的名称
\date{\today}       % 当天日期
\begin{document}
\maketitle
\tableofcontents
\newpage
\newpage
\section{曲线积分和曲面积分}
\subsection{9.3  同步训练题}
\textbf{1. 计算下列第一型曲线积分:}
\begin{itemize}
    \item (1) $\oint_{L}\left(x^{2}+y\right) \mathrm{d} s$ , 其中$L$由连接  $O(0,0), A(0,1), B(1,1)$的直线段所围成;
    \item(2)  $\int_{L} \sqrt{y} \mathrm{~d} s$ , 其中$ L$为摆线  $x=a(t-\sin t), y=a(1-\cos t)$ 的第一拱;
    \item(3)  $\oint_{L}\left(x y+x^{3} \sin y\right) \mathrm{d} s$ , 其中  $L $ 为  $x^{2}+y^{2}=R^{2}$ ;
    \item(4)  $\int_{L}\left(x^{2}+y^{2}\right)\mathrm{d} s$ ,其中  $L$  为从  $A(2,0)$点沿$y=\sqrt{2 x-x^{2}}$  到  $O(0,0)$  点的一段;
    \item(5)  $\oint_{L} x^{2} \mathrm{~d} s$ , 其中  $L$  为圆周  $\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2} \\ y=z\end{array}\right.$ ;
    \item(6) 计算质量均匀的球面  $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$  在第一卦限上的边界曲线的形心.
\end{itemize}
\textbf{2. 计算第二型曲线积分:}
\begin{itemize}
    \item (1)  $\int_{L}\left(x^{2}-x y\right) \mathrm{d} x+\left(y^{2}-2 x y\right) \mathrm{d} y, L  $为抛物线$  y=x^{2}  $对应从点$  (-1,1)  $到点$  (1,1)  $的一段;
    \item(2)  $\oint_{\sqrt{m_{\operatorname{mnn}}}} \arctan \frac{y}{x} \mathrm{~d} y-\mathrm{d} x $, 其中 $ O m A $ 为拋物线段  $y=x^{2} , AnO$ 为直线  $y=x$ ;
    \item(3)  $\int_{L}(y+2 x y) \mathrm{d} x+\left(x^{2}+2 x+2 y^{2}\right) \mathrm{d} y $, 其中$  L  $是由点  $A(4,0) $ 到点  $O(0,0)$  的上半圆 周  $y=\sqrt{4 x-x^{2}}$ ;
    \item(4)  $\int_{\Gamma}\left(y^{2}-z^{2}\right) \mathrm{d} x+\left(z^{2}-x^{2}\right) \mathrm{d} y+\left(x^{2}-y^{2}\right) \mathrm{d} z$, $\Gamma $ 为球面 $ x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$  在第一卦限部分 的边界,从  z  轴正向向负向看去,  $\Gamma $ 为逆时针方向;
    \item(5)  $\oint_{L}(2 x y-2 y) \mathrm{d} x+\left(x^{2}-4 x\right) \mathrm{d} y $, 其中$  L  $为圆周$  x^{2}+y^{2}=9 $, 取逆时针方向;
    \item(6)  $\oint_{L} \mathrm{e}^{x}[(1-\cos y) \mathrm{d} x-(y-\sin y) \mathrm{d} y] , $其中  $L  $为区域$ 0 \le x \le \pi, 0 \le y \le \sin x$的正方 向的围线;
    \item(7)  $\int_{L}\left(y+2 x \mathrm{e}^{y}\right) \mathrm{d} x+\left(x^{2} \mathrm{e}^{y}-\mathrm{e}^{y^{2}}+x\right) \mathrm{d} y$, $L$  是从 $ O(0,0)$  沿曲线  $y=\sin \left(x^{2} \pi\right)$  到点  $A(1,0)$  的曲线;
    \item(8)  $I=\oint_{L} \frac{(y-1) \mathrm{d} x-(x-1) \mathrm{d} y}{(x-1)^{2}+(y-1)^{2}}$ , 其中 $ L  $为  $4 x^{2}+y^{2}-8 x=0$ , 取逆时针方向;
    \item(9) 计算  $\oint_{\Gamma}\left(y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} x+\left(x^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} y+\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} z$ , 其中  $\Gamma $ 是球面  $x^{2}+y^{2}+z^{2}=2 R x $ 与 柱面 $x^{2}+y^{2}=2 r x $ 的交线, 且  $0<r<R, z>0 $. $\Gamma$  的方向为: 从  $z $ 轴正向看去逆时针方向.
\end{itemize}
\textbf{3. 计算下列第一型曲面积分 :}
\begin{itemize}
    \item (1)  $\iint_{\Sigma}(x+y+z) \mathrm{d} S , 其中  \Sigma  $为球面  $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$  的表面;
    \item (2)  $\iint_{\Sigma}\left(x^{2}+2 y+3 z^{2}\right) \mathrm{d} S$ , 其中$  \Sigma  $为球面$  x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}  $的表面;
    \item (3)  $\iint_{\Sigma}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} S $, 其中 $ \Sigma $ 是$ \sqrt{x^{2}+y^{2}} \le z \le a  $的表面;
    \item (4) 求均匀曲面  $\Sigma: z=\sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}}$  的重心坐标.
\end{itemize}
\textbf{4. 计算下列第二型曲面积分:}
\begin{itemize}
    \item(1)  $\iint_{\Sigma} z^{2} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+x^{2} y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+y^{2} z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y $, 其中  $\Sigma$  是  $z=x^{2}+y^{2}, x^{2}+y^{2}=1$  和坐标面在第一卦限 所围立体 $ V $ 的表面外侧；
    \item (2) $\iint x z^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+\left(x^{2} y-z^{3}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(2 x y+y^{2} z\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$, 其中 $\boldsymbol{\Sigma}$ 是上半球面 $z=\sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}}$ 的上侧:
    \item (3) $\iint_{\Sigma} 2\left(1-x^{2}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+8 x y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+4 x(x-z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$, 其中 $\Sigma$ 是旋转抛物面 $z=x^{2}+y^{2}$ 上介 $0 \le z \le 4$ 之间部分的上侧;
    \item (4) $\iint_{\Sigma}\left(x^{2}-y z\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(y^{2}-x z\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(z^{2}-x y\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$, 其中 $\Sigma$ 为球面 $(x-1)^{2}+(y-1)^{2}+$ $(z-1)^{2}=1$ 的外侧.
    \item5. 设流体流速 $\boldsymbol{v}=x y i+y z j+z x k$, 求由 $z=1, x=0, y=0$ 和 $z^{2}=x^{2}+y^{2}$ 所围立体在第 一卦限向外流的流量.
    \item6. 设向量场 $f=\left\{x-z, x^{3}+y z,-3 x y^{2}\right\}, \Sigma$ 为圆雉面 $z=2-\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 在 $x O y$ 面上方部分 (即 $z \ge 0$ ), 方向向外, 求曲面积分 $\iint \operatorname{rot} \boldsymbol{f} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{S}$.
\end{itemize}

\subsection{9.4}
\begin{itemize}
    \item (1) 设平面曲线 $L$ 为 $y=-\sqrt{1-\frac{x^{2}}{4}}$, 且已知 $\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$ 的周长为 $s$, 则曲线积分 $\int_{L}\left(x^{2}+3 x y+4 y^{2}\right) \mathrm{d} s=$
    \item(2) 闭曲线 $L$ 为 $(x-1)^{2}+(y-1)^{2}=1$ 逆时针方向, 则曲线积分 $$I=\oint_{L} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x+\left[5 x+y \ln \left(x+\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)\right] \mathrm{d} y=$$
    \item(3) 设 ( $\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma)$ 是光滑闭曲面 $\Sigma$ 在点 $(x, y, z)$ 处的外法向量方向余弦, $\Sigma$ 所围 空间闭区域为 $V$, 且 $u(x, y, z)$ 在 $V$ 上具有连续二阶偏导数,则用高斯公式化曲面积分为重积分 时有 $$\oiint_{\Sigma}\left(\frac{\partial u}{\partial x} \cos \alpha+\frac{\partial u}{\partial y} \cos \beta+\frac{\partial u}{\partial z} \cos \gamma\right) \mathrm{d} S=$$
    \item(4) 分片光滑闭曲面 $\Sigma$ 所围成的空间区域 $\Omega$ 的体积为 $V$, 则沿曲面 $\Sigma$ 外侧的积分 $\oiint_{\Sigma}(z-y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y+(y-x) \mathrm{d} x \mathrm{~d} z+(x-z) \mathrm{d} z \mathrm{~d} y=$
    \item（5) 向量场 $\boldsymbol{A}=(2 z-3 y) \boldsymbol{i}+(3 x-z) \boldsymbol{j}+(y-2 x) \boldsymbol{k}$ 的散度和旋度分别为 $\operatorname{div} \boldsymbol{A}=$
\end{itemize}
\end{document}
